第5章速度测量

5.1 多普勒效应与径向速度

第4章解决的是“目标离我多远”。速度测量接着问：目标是在靠近、远离，还是几乎不动？如果它在动，速度是多少？

这件事的入口仍然是多普勒效应。你在路边听到救护车迎面开来时声音变尖，开过去以后声音变低；雷达看到的电磁波也会发生类似的频率变化。速度测量要把三件事连起来：频移为什么出现，频移怎样测出来，在脉冲雷达里它为什么会变成同一距离单元上的相位转动。

从声音的频率变化说起

你站在路边，救护车从远处驶来，警笛声会变尖；车开过去以后，声音又变低。这个现象每个人都听过，它有个专门的名字：多普勒效应。声源和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率会发生变化。

先用声音建立直觉。设救护车静止时发出 $f_0=1000\,Hz$ 的声音，声速近似为 $v_s=340\,m/s$。这意味着每秒有 1000 个波峰从喇叭发出，并且均匀分布在空间中。救护车静止时，相邻两个波峰之间的距离为

\lambda_0=\frac{v_s}{f_0}=\frac{340}{1000}=0.34\,m

如果救护车以 $v=30\,m/s$ 向观察者驶来，喇叭仍然每秒发出 1000 个波峰，但后一个波峰发出时，车已经向前移动了一段距离。前方波峰间距被压缩，你站在路边不动，单位时间内经过你的波峰数量变多了。此时观察者接收到的频率近似为

f= f_0\frac{v_s}{v_s-v} =1000\times\frac{340}{340-30} \approx1097\,Hz

频率升高，声音听起来更尖。若救护车远离观察者，波峰间距被拉长，接收频率变为

f= f_0\frac{v_s}{v_s+v} =1000\times\frac{340}{340+30} \approx919\,Hz

频率降低，声音听起来更低。

雷达发射的是电磁波，不是声波。差别在于电磁波以光速 $c\approx3\times10^8\,m/s$ 传播，而且雷达回波经历了“雷达到目标、目标再回到雷达”的双程路径。目标朝雷达运动时，回波频率会升高；目标远离雷达时，回波频率会降低。

在雷达测速里，通常只需要低速近似。目标径向速度为 $v_r$，发射频率为 $f_0$，波长为 $\lambda=c/f_0$，多普勒频移可写成

f_d=\frac{2v_r}{\lambda}=\frac{2v_r f_0}{c}

反过来，测到多普勒频移 $f_d$ 后，径向速度为

v_r=\frac{\lambda f_d}{2}=\frac{c f_d}{2f_0}

这里的因子 $2$ 来自双程传播。电磁波去程受目标运动影响一次，回程又受影响一次，所以雷达多普勒频移约为单程情况的两倍。

雷达看到的是径向速度

公式里的 $v_r$ 表示目标沿雷达视线方向的速度分量，它只取真实速度在视线方向上的那一部分。若目标真实速度为 $v$，运动方向与雷达视线夹角为 $\theta$，则

v_r=v\cos\theta

本书约定：目标靠近雷达时，径向速度 $v_r$ 为正，多普勒频移 $f_d$ 也为正；目标远离雷达时二者为负。不同教材和系统可能采用相反约定，读公式时要先看清符号方向。

目标正对雷达飞来时，$\theta=0$，径向速度等于真实速度。目标横向飞过雷达时，$\theta=90^\circ$，径向速度接近 0，即使它本身飞得很快，多普勒频移也很小。

如果想逗一个只看多普勒的雷达，可以绕着它转圈。速度方向始终接近切向，径向速度接近 0；目标当然在动，只是没有沿雷达视线方向靠近或远离，所以在多普勒维度上更像静止背景。

看一组数量级：

场景	雷达频率 / 波长	径向速度	多普勒频移
汽车测速	$f_0=24\,GHz$，$\lambda=0.0125\,m$	$30\,m/s$	$4.8\,kHz$
气象雷达	$f_0=3\,GHz$，$\lambda=0.1\,m$	$10\,m/s$	$200\,Hz$
高速飞行目标	$f_0=10\,GHz$，$\lambda=0.03\,m$	$600\,m/s$	$40\,kHz$

同样的速度，在更高载频下会产生更大的多普勒频移。频移更大，测起来更容易；但系统也要能处理相应的频率范围。

5.2 连续波测速与频率测量

混频得到低频差频

结构最简单的测速雷达是单频连续波雷达，也就是这里说的 CW 雷达。它持续发射单频信号，同时接收目标回波。若目标在运动，回波频率相对发射频率偏移 $f_d$。

公式已经说明，测出 $f_d$ 就能算速度。麻烦在于怎样把这个很小的频率偏移测准：回波信号很弱，载频又常在 GHz 量级，而多普勒频移往往只有 Hz 到 kHz 量级。

设发射信号为

s_{\text{tx}}(t)=\cos(2\pi f_0t)

回波信号近似为

s_{\text{rx}}(t)=\cos(2\pi(f_0+f_d)t)

如果对 $24\,GHz$ 原始射频信号做 FFT，按采样定理至少需要 $48\,GHz$ 以上的采样率，硬件成本和数据量都很难承受。接收机通常先把发射信号和回波信号相乘，这一步叫混频：

\begin{aligned} s_{\text{tx}}(t)s_{\text{rx}}(t) &=\cos(2\pi f_0t)\cos(2\pi(f_0+f_d)t)\\ &=\frac{1}{2}\cos(2\pi f_dt) +\frac{1}{2}\cos(2\pi(2f_0+f_d)t) \end{aligned}

乘积里有两个频率成分：一个是差频 $f_d$，通常在 Hz 到 kHz 量级；另一个是和频 $2f_0+f_d$，仍然在 GHz 量级。低通滤波器滤掉和频项后，只留下差频信号

\frac{1}{2}\cos(2\pi f_dt)

这时再采样、做 FFT，就可以测出 $f_d$。最后代入

v_r=\frac{c f_d}{2f_0}

得到径向速度。

实际接收机常用 I/Q 混频，得到复数形式的差频信号 $e^{j2\pi f_dt}$。复数差频信号保留了正负频率信息，因此可以区分目标靠近还是远离。

连续波雷达的局限

CW 雷达结构简单，适合只关心速度的场景，比如手持测速枪。它的限制也很清楚：连续波一直在发射，接收机很难从“回波晚到多久”判断距离。没有调制或其他辅助设计时，普通 CW 雷达不能像脉冲雷达那样直接用时间延迟测距。

脉冲雷达的处理方式不同。它先利用第4章的距离处理确定目标落在哪个距离单元，再观察这个距离单元在多发脉冲之间的复数变化。在脉冲雷达里，速度信息表现为慢时间上的相位转动。

体制	速度信息在哪里	主要处理动作	直接测距能力
单频 CW 雷达	混频后的差频信号	对差频信号做 FFT	不能直接测距
脉冲多普勒雷达	同一距离单元的慢时间相位	沿脉冲序号做 FFT	可由时间延迟测距
FMCW 雷达	拍频与多普勒共同作用	快时间 / 慢时间二维处理	可测距，但路径不同

这里的 CW 特指不调制的单频连续波；FMCW 虽然也是连续发射，但因为频率在扫动，测距和测速的处理路径都不同，不能把它和单频 CW 的差频测速公式混成一套。

5.3 脉冲间相位与慢时间 FFT

固定一个距离单元

上一节主要站在单频 CW 雷达的角度讨论测速：先把高频回波混到低频，再从频率偏移算速度。脉冲雷达里的速度信息体现在相邻脉冲之间的相位变化中。

第4章已经得到距离像。对一发脉冲来说，距离像横轴是距离单元，峰值位置对应目标距离。只看这一发脉冲，你最多知道某个距离单元里有没有较强回波，却很难判断它是静止、靠近还是远离。现在连续发射 $N$ 个脉冲，每一发脉冲都经过距离压缩，就会得到 $N$ 条距离像。

把这些距离像按脉冲序号排起来，就得到一个二维矩阵。横向是快时间处理后的距离单元，纵向是脉冲序号，也叫慢时间。若某个目标落在第 $n_0$ 个距离单元，就固定这一列，取出

z[m]=X_c(m,n_0),\qquad m=0,1,\ldots,N-1

这里 $X_c(m,n)$ 表示第 $m$ 发脉冲距离压缩后的第 $n$ 个距离单元复数值。$z[m]$ 就是同一距离单元沿慢时间方向的一串复数样本。

快时间是单个脉冲内部的采样轴，采样间隔通常很短；慢时间是脉冲与脉冲之间的采样轴，采样间隔就是 PRI $T_r$。名字里的“快”和“慢”，说的正是这两个采样间隔的差别。图5.3 把这两个采样轴放在同一张矩阵里。

可以把它类比成拍照：一张照片能看出人站在哪里，连续多张按固定时间间隔拍下的照片，才能看出他是不是在持续移动。若目标静止，理想情况下这串复数的相位变化很小；若目标在运动，从一发脉冲到下一发脉冲，目标距离略有变化，往返路程随之变化，相位也会随脉冲序号稳定转动。

设相邻两发脉冲间隔为 $T_r$。目标径向速度为 $v_r$ 时，在一个 PRI 内移动

\Delta R=v_rT_r

往返路径变化为

\Delta L=2\Delta R=2v_rT_r

电磁波每走一个波长 $\lambda$，相位转过 $2\pi$。因此相邻脉冲之间的相位差为

\Delta\phi =2\pi\frac{\Delta L}{\lambda} =2\pi\frac{2v_rT_r}{\lambda}

利用 $f_d=2v_r/\lambda$，可写成

\Delta\phi=2\pi f_dT_r

这个式子把速度、多普勒频率和脉冲间相位差接到了一起：目标速度越大，同一距离单元上的相位转得越快。

从相位差到慢时间 FFT

如果只看相邻两发脉冲，也可以由相位差估计速度：

v_r=\frac{\lambda\Delta\phi}{4\pi T_r}

既然两发脉冲就能算出速度，为什么还要做 FFT？因为两发脉冲只给一次相位差，噪声稍大，估计就会抖动。多个脉冲放在一起时，可以观察整串相位变化规律；同一距离单元里若有两个速度不同的目标，它们也可能在频率上分开。

慢时间序列可写成复指数形式：

z[m]=A e^{j(\phi_0+2\pi f_dmT_r)}

其中 $A$ 是幅度，$\phi_0$ 是初始相位。它和第2章的正弦/复指数信号是同一类对象，只是采样间隔换成了 PRI $T_r$。

下面用 4 个脉冲的例子看 FFT 在做什么。假设某个目标的径向速度刚好让相邻脉冲间相位差为 $90^\circ$，固定该距离单元后，连续 4 个脉冲上的复数样本可能是

z[0]=1,\quad z[1]=j,\quad z[2]=-1,\quad z[3]=-j

这 4 个复数的相位依次为

0^\circ,\quad90^\circ,\quad180^\circ,\quad270^\circ

每往后一个脉冲，相位多转 $90^\circ$。对这 4 个点做 DFT：

Z[k]=\sum_{m=0}^{3}z[m]e^{-j2\pi km/4}

先看 $k=1$：

\begin{aligned} Z[1] &=z[0]e^0+z[1]e^{-j\pi/2}+z[2]e^{-j\pi}+z[3]e^{-j3\pi/2}\\ &=1\cdot1+j\cdot(-j)+(-1)\cdot(-1)+(-j)\cdot j\\ &=1+1+1+1=4 \end{aligned}

模板 $e^{-j2\pi m/4}$ 的相位变化速率正好抵消了样本的相位变化，四项变成同方向相加，所以幅度最大。

再看 $k=0$：

$$ Z[0]=1+j-1-j=0 $$

$k=0$ 对应相位不转的模板，和这串样本不匹配，累加后相互抵消。

FFT 的峰值位置对应慢时间相位的转动速率。第 $k$ 个 bin 对应的多普勒频率为

f_k=\frac{k}{NT_r}=k\frac{\text{PRF}}{N}

若 $N=4$，$T_r=1\,ms$，则 $\text{PRF}=1000\,Hz$。上面的 $k=1$ 对应

f_d=f_1=\frac{1}{4\times0.001}=250\,Hz

也可以反过来检查：$250\,Hz$ 的多普勒频率，在 $T_r=1\,ms$ 的脉冲间隔下，相邻脉冲相位差为

\Delta\phi=2\pi f_dT_r=2\pi\times250\times0.001=\frac{\pi}{2}=90^\circ

这正好对应前面那串 $1,j,-1,-j$。若雷达工作在 $10\,GHz$，波长 $\lambda=0.03\,m$，速度为

v_r=\frac{\lambda f_d}{2} =\frac{0.03\times250}{2} =3.75\,m/s

这样，脉冲间相位变化就被转换成了多普勒频率，再转换成径向速度。

5.4 MTD 与距离-速度图

对每个距离单元做慢时间 FFT

上一节只盯着一个距离单元看。实际雷达要处理整张二维数据矩阵：横向区分不同距离，纵向观察同一距离单元在多个脉冲上的变化。

发射 $N$ 个脉冲后，距离压缩输出可以排成一个复数矩阵：

X_c(m,n),\qquad m=0,1,\ldots,N-1

其中 $m$ 是脉冲序号，$n$ 是距离单元。对每一个固定的 $n$，沿 $m$ 方向做 FFT，就得到该距离单元上的多普勒分布。所有距离单元都做完后，结果仍然是一张二维图，只是纵向已经从“脉冲序号”变成了“多普勒频率”或“速度”。

这个处理常称为 MTD（Moving Target Detection）。在本书的入门语境里，可以把 MTD 先理解为：距离处理之后，对每个距离单元分别做慢时间 FFT，把运动目标按多普勒频率分开。

图5.6 左侧是距离压缩后的矩阵。固定某个距离单元后，沿慢时间取出一列复数样本；对这一列做 FFT，就得到该距离位置上的速度谱。对所有列重复这个动作，就得到距离-速度图。

距离-速度图的读法

距离-速度图也叫 range-Doppler map。横轴表示距离，纵轴表示多普勒频率或换算后的径向速度，图上每个像素表示某个距离-速度单元的响应强度。

读这类图时，先看亮点横向位置，得到目标可能的距离；再看纵向位置，得到目标可能的径向速度。若某个亮点位于 $15\,km$、$+30\,m/s$ 附近，它表示这个距离-速度单元上有较强响应：目标可能在 15 km 处，并以约 $30\,m/s$ 的径向速度靠近雷达。

这里要区分“响应”和“目标”。距离-速度图上的亮点只是处理结果里的候选响应，可能来自目标，也可能来自噪声、杂波或旁瓣泄漏。雷达是否把它报告为目标，还要经过第6章的阈值和 CFAR 检测；如果一个目标附近出现多个相邻亮点，检测后还要通过点迹凝聚把它们整理成一个目标点迹。

MTD 还有一个好处：静止地面、建筑物等杂波通常集中在零多普勒附近，在图上表现为零速度附近的一条亮带。运动目标若有明显径向速度，会出现在非零速度 bin 上。速度维度由此提供了分离运动目标和静止杂波的抓手。

5.5 速度分辨率、模糊与 PRF 取舍

CPI 与速度分辨率

慢时间 FFT 的频率间隔为

\Delta f_d=\frac{\text{PRF}}{N}=\frac{1}{NT_r}

$NT_r$ 是这一次相干处理持续的总时间，称为 CPI（Coherent Processing Interval，相干处理间隔）：

T_{\text{CPI}}=NT_r

因此

\Delta f_d=\frac{1}{T_{\text{CPI}}}

由 $v_r=\lambda f_d/2$，速度分辨率为

\Delta v=\frac{\lambda\Delta f_d}{2} =\frac{\lambda}{2T_{\text{CPI}}}

它说明的是两个速度接近的目标能否在速度轴上分开。CPI 越长，FFT bin 越密，速度分辨率越细。

例如，$\lambda=0.03\,m$，$T_{\text{CPI}}=0.1\,s$，则

\Delta v=\frac{0.03}{2\times0.1}=0.15\,m/s

若希望速度分辨率提高到 $0.05\,m/s$，需要

T_{\text{CPI}}=\frac{\lambda}{2\Delta v} =\frac{0.03}{2\times0.05}=0.3\,s

CPI 也不能无限延长。目标加速、机动或跨越距离单元时，慢时间序列不再像一个稳定复指数；雷达还要保持数据更新率，不能为了更细的速度 bin 一直等下去。

PRF 与最大不模糊速度

慢时间采样间隔是 $T_r$，采样率是 $\text{PRF}=1/T_r$。对复 I/Q 慢时间序列，FFT 无歧义频率范围通常写成

f_d\in\left[-\frac{\text{PRF}}{2},\frac{\text{PRF}}{2}\right)

超过这个范围，多普勒频率会折叠回来，形成速度模糊。把 $f_d=2v_r/\lambda$ 代入这个范围，有

-\frac{\text{PRF}}{2}<\frac{2v_r}{\lambda}<\frac{\text{PRF}}{2}

两边同乘 $\lambda/2$，就得到

|v_r|<\frac{\lambda\,\text{PRF}}{4}

这就是本书采用的最大不模糊速度约定。

例如，$\lambda=0.03\,m$，$\text{PRF}=2000\,Hz$，则

v_{\max}=\frac{0.03\times2000}{4}=15\,m/s

如果目标径向速度超过这个范围，FFT 峰值会折叠到另一个速度位置。一个高速靠近目标，可能被显示成低速目标，甚至显示到远离方向。

有些教材会写成 $v_{\max}=\lambda\text{PRF}/2$。常见原因是频谱范围、正负方向是否区分、单边/双边显示约定不同。本书按复 I/Q 双边频谱来写，因此分母为 4。

PRF 的距离与速度取舍

PRF 看起来只是一个发射参数，但它同时卡着距离和速度两个维度。第3章已经讲过，脉冲雷达的不模糊距离近似为

R_{\max}=\frac{c}{2\text{PRF}}

PRF 越高，相邻脉冲间隔越短，下一发脉冲很快发出去；远处目标的回波可能在下一发脉冲之后才回来，于是距离容易混淆。另一方面，PRF 越高，慢时间采样率越高，最大不模糊速度越大。

参数变化	有利的一面	代价
提高 PRF	最大不模糊速度增大	不模糊距离减小
降低 PRF	不模糊距离增大	最大不模糊速度减小
延长 CPI	速度分辨率变细	数据更新变慢，目标机动影响更明显
缩短波长	同样速度产生更大多普勒频移	固定 PRF 下不模糊速度范围变小，对硬件精度和传播环境要求也更高

速度分辨率主要由 CPI 决定，不要把它和 PRF 的作用混在一起。若固定 CPI，改变 PRF 主要改变可测速度范围和不模糊距离；若固定脉冲数 $N$，提高 PRF 会让 CPI 变短，速度分辨率反而变粗。

这种距离和速度之间的 PRF 取舍，在雷达教材里常叫 Doppler dilemma。工程系统会用多 PRF、参差 PRF 或其他解模糊方法处理，本书不展开这些算法。

5.6 实际应用

测速枪

交警测速枪通常采用 CW 体制，工作在 24 GHz 或 35 GHz 等频段。它持续发射单频电磁波，接收车辆回波后与本振混频，得到多普勒差频；再对差频信号做 FFT，找到频谱峰值，换算成车速。

测速枪只需要知道车速，不一定需要知道车辆距离，因此 CW 体制已经够用。它也受角度影响：测速枪与车辆运动方向夹角为 $\theta$ 时，测得的是 $v\cos\theta$。角度越偏，显示速度越低。

气象雷达

气象雷达面对的是雨滴、雪花、冰雹等大量散射体。它不只要知道风速，还要知道这些回波来自哪个距离和方位，因此常采用脉冲多普勒体制。

气象雷达先用回波延迟确定降水区域的位置，再用相邻脉冲间的相位变化估计径向速度。若某一区域中相邻位置出现一正一负的强速度，可能提示局部旋转结构；风切变、强对流等现象也会反映在多普勒速度场中。

气象雷达通常需要较大的不模糊距离，因此 PRF 不能随意提高；但 PRF 低又容易带来速度模糊。这也是气象雷达处理中经常要做速度解模糊的原因。

汽车雷达

现代汽车雷达多工作在 77 GHz 频段，常用于自适应巡航、自动紧急制动、盲区监测等功能。它既要测距离，也要测速度，还要处理多个目标。

汽车雷达常用 FMCW 体制。FMCW 也会用到多普勒信息，但距离和速度的提取路径与前面的脉冲多普勒处理不同：它通过线性扫频产生拍频，距离和速度会共同影响混频后的信号，需要用 FMCW 的二维处理方法分开。这里把它作为应用边界，不把 FMCW 公式混入这条脉冲多普勒路径。

实际系统中的问题

杂波会集中在零多普勒附近。地面、建筑物、海面等强回波可能比目标还强，MTI/MTD 的一个任务就是抑制这些低速或零速背景。

多目标会相互叠加。同一距离单元中若有两个速度不同的目标，慢时间 FFT 可能把它们分开；若速度差小于速度分辨率，它们仍会落在同一个 Doppler bin 附近。

高速目标可能发生速度模糊。提高 PRF 可以扩大不模糊速度范围，但会牺牲不模糊距离。工程设计经常是在这些约束之间做取舍。

5.7 小练习

练习 1：基础多普勒换算

一个工作在 $10\,GHz$ 的雷达，测得某目标的多普勒频移为 $3000\,Hz$。目标的径向速度是多少？

解析：先求波长

\lambda=\frac{c}{f_0}=\frac{3\times10^8}{10\times10^9}=0.03\,m

由速度换算公式

v_r=\frac{\lambda f_d}{2}

得到

v_r=\frac{0.03\times3000}{2}=45\,m/s

换算成 km/h，约为

45\times3.6=162\,km/h

练习 2：测速枪的角度误差

交警使用 $24\,GHz$ 测速枪测量车速。测速枪与车辆运动方向成 $30^\circ$ 角，测得多普勒频移为 $4157\,Hz$。车辆真实速度约为多少？

解析：$24\,GHz$ 对应波长

\lambda=\frac{3\times10^8}{24\times10^9}=0.0125\,m

测得的径向速度为

v_r=\frac{0.0125\times4157}{2}\approx26\,m/s

由于

v_r=v\cos30^\circ

所以

v=\frac{v_r}{\cos30^\circ} \approx\frac{26}{0.866} \approx30\,m/s

也就是约 $108\,km/h$。

练习 3：CPI 与速度分辨率

某雷达波长为 $0.03\,m$，CPI 为 $0.1\,s$。速度分辨率是多少？若希望速度分辨率达到 $0.05\,m/s$，CPI 需要多长？

解析：

\Delta v=\frac{\lambda}{2T_{\text{CPI}}} =\frac{0.03}{2\times0.1} =0.15\,m/s

若要求 $\Delta v=0.05\,m/s$，则

T_{\text{CPI}}=\frac{\lambda}{2\Delta v} =\frac{0.03}{2\times0.05} =0.3\,s

练习 4：最大不模糊速度

某脉冲多普勒雷达波长为 $0.03\,m$，PRF 为 $2000\,Hz$。按复 I/Q 双边频谱约定，最大不模糊速度是多少？

解析：

v_{\max}=\frac{\lambda\,\text{PRF}}{4} =\frac{0.03\times2000}{4} =15\,m/s

若目标径向速度超过这个范围，慢时间频谱会发生折叠，速度读数可能出现在错误位置。

练习 5：距离-速度图读图

某距离-速度图在 $15\,km$、$+30\,m/s$ 处有一个亮点。这个亮点表示什么？后续还需要做什么？

解析：这个亮点表示在距离 $15\,km$、径向速度约 $+30\,m/s$ 的单元上存在较强回波响应。根据本书约定，正速度表示目标正在靠近雷达。

但它还不是最终目标报告。距离-速度图只给出候选响应，还要用阈值或 CFAR 判断它是否高于周围背景，再决定是否报告为目标。

第5章 速度测量