第5章速度测量

5.1 多普勒效应原理

站在路边，救护车从远处驶来，鸣笛声越来越尖；车开过去后，声音又变得低沉。这个现象每个人都经历过，它有个专门的名字：多普勒效应。

雷达测速的原理就是多普勒效应。目标运动时，回波的频率会发生偏移：靠近时频率升高，远离时频率降低。测量这个频率偏移，就能算出目标的速度。

先从声音说起，因为声音的多普勒效应最容易感受。声音是空气的振动。声源（比如救护车的喇叭）每秒发出若干次振动，这个次数就是频率 $f$。声波以固定速度 $v_s \approx 340$ m/s 在空气中传播。

假设救护车静止不动,喇叭发出频率 $f_0 = 1000$ Hz 的声音。这意味着每秒有 1000 个波峰从喇叭发出,均匀分布在空间中。相邻两个波峰之间的距离就是波长 $\lambda = v_s / f_0 = 0.34$ m。

现在让救护车以速度 $v$ 向你驶来。喇叭还是每秒发出 1000 个波峰,但因为车在运动,后一个波峰发出时,车已经向前移动了一小段距离。这导致波峰之间的间距被"压缩"了。你站在路边不动,单位时间内经过你的波峰数量变多了——频率升高了。

上图展示了这个过程：救护车向右运动，不断发出声波。前方的波峰被"挤"在一起（标注"压缩"），后方的波峰被"拉"开（标注"拉伸"）。观察者A在前方听到高音，观察者B在后方听到低音。

频率到底变化了多少？来算一下。救护车静止时，相邻两个波峰之间的距离（波长）是 $\lambda_0 = v_s / f_0 = 0.34$ m。现在车以速度 $v$ 向你驶来，喇叭每隔 $1/f_0$ 秒发出一个波峰。在这段时间里，前一个波峰已经向前传播了 $v_s / f_0$，但车本身也向前移动了 $v / f_0$。所以两个波峰之间的实际距离变成了：

\lambda = \frac{v_s - v}{f_0}

波长被压缩了。你站在路边不动，声波以速度 $v_s$ 经过你，单位时间内经过的波峰数（频率）就是：

f = \frac{v_s}{\lambda} = f_0 \frac{v_s}{v_s - v}

举个例子:救护车以 $v = 30$ m/s (约 108 km/h) 向你驶来,喇叭频率 $f_0 = 1000$ Hz,你听到的频率是:

f = 1000 \times \frac{340}{340 - 30} \approx 1097 \text{ Hz}

频率升高了约 97 Hz,声音变尖了。

车开过去后,速度变成 $v = -30$ m/s (远离),频率变成:

f = 1000 \times \frac{340}{340 + 30} \approx 919 \text{ Hz}

频率降低了约 81 Hz,声音变低沉了。

雷达发射的是电磁波,不是声波,但多普勒效应的原理完全一样。唯一的区别是:电磁波的传播速度是光速 $c = 3\times10^8$ m/s,比声速快得多。

假设雷达发射频率为 $f_0$ 的电磁波,目标以速度 $v$ 向雷达运动。回波的频率会发生偏移:

f = f_0 \frac{c + v}{c - v}

这个公式看起来复杂,但实际应用中目标速度 $v$ 远小于光速 $c$ (即使是超音速飞机,$v/c$ 也只有百万分之一),可以做近似:

f \approx f_0 \left(1 + \frac{2v}{c}\right)

频率偏移 $\Delta f = f - f_0$ 就是:

\Delta f \approx \frac{2v}{c} f_0

这里的因子 2 是因为电磁波往返两次:雷达到目标一次,目标到雷达又一次,每次都产生一次多普勒效应,所以总的频率偏移是单程的两倍。

多普勒效应有个重要特点:频率偏移的方向取决于目标的运动方向。目标靠近雷达时回波频率升高($\Delta f > 0$),远离时频率降低($\Delta f < 0$),横向运动(垂直于雷达视线)时回波频率不变($\Delta f = 0$)。最后一点很重要:多普勒效应只对径向速度敏感,即目标沿雷达视线方向的速度分量。如果目标横向飞过,即使速度很快,雷达也测不出多普勒频移。

如果你想逗一个雷达，可以沿着它转圈圈，没有朝向它的速度，它看你就是速度为0，要是雷达不能测角的话，你就是隐身的。

举个例子:一架飞机以 300 m/s 的速度飞行,但飞行方向与雷达视线成 60° 角。雷达测到的径向速度只有 $v_r = 300 \times \cos(60°) = 150$ m/s。多普勒频移是按 150 m/s 计算的,不是 300 m/s。

来算几个实际例子,建立直观感受。

例1:汽车测速雷达

雷达频率:$f_0 = 24$ GHz (毫米波雷达常用频段)
汽车速度:$v = 30$ m/s (约 108 km/h)
频率偏移:

\Delta f = \frac{2 \times 30}{3\times10^8} \times 24\times10^9 = 4800 \text{ Hz} = 4.8 \text{ kHz}

频率偏移是 4.8 kHz,这个频率落在音频范围内,用普通的音频处理芯片就能测量。

例2:气象雷达

雷达频率:$f_0 = 3$ GHz (S波段)
云团移动速度:$v = 10$ m/s (约 36 km/h)
频率偏移:

\Delta f = \frac{2 \times 10}{3\times10^8} \times 3\times10^9 = 200 \text{ Hz}

频率偏移只有 200 Hz,需要更精密的测量。

例3:战斗机雷达

雷达频率:$f_0 = 10$ GHz (X波段)
目标速度:$v = 600$ m/s (约 2 马赫)
频率偏移:

\Delta f = \frac{2 \times 600}{3\times10^8} \times 10\times10^9 = 40000 \text{ Hz} = 40 \text{ kHz}

频率偏移达到 40 kHz,测量相对容易,但需要更高的采样率。

从这些例子可以看出:雷达频率越高,目标速度越快,多普勒频移越大。这也是为什么高速目标探测通常使用高频雷达。

多普勒效应不只用于雷达。天文学中，恒星光谱的红移/蓝移揭示了恒星的运动方向和速度，宇宙膨胀的证据就来自遥远星系的红移。5.5 节会介绍测速枪、气象雷达、汽车防撞雷达等工程应用。

5.2 多普勒频移与速度换算

上一节介绍了多普勒效应的原理：目标运动导致回波频率发生偏移。这一节解决实际问题：如何从测量到的频率偏移 $\Delta f$ 反推出目标速度 $v$？

速度与多普勒频移的关系

从上一节的多普勒公式出发：

\Delta f = \frac{2v}{c} f_0

解出速度 $v$：

v = \frac{c \Delta f}{2 f_0}

这就是雷达测速的核心公式。只要测出频率偏移 $\Delta f$，就能算出目标的径向速度 $v$。

公式里的三个量：

$c = 3\times10^8$ m/s：光速，常数
$f_0$：雷达发射频率，设计时确定
$\Delta f$：测量得到的频率偏移

关键点：速度测量的精度完全取决于频率测量的精度。频率测得越准，速度就越准。

假设交警使用的测速雷达工作在 24 GHz 频段，测得回波的频率偏移是 $\Delta f = 4800$ Hz。目标速度是多少？代入公式：$v = (3\times10^8 \times 4800)/(2 \times 24\times10^9) = 30$ m/s，换算成 km/h 是 108 km/h。这个计算过程在实际雷达中是自动完成的。雷达内部的信号处理器测量频率偏移，然后用上面的公式实时计算速度，显示在屏幕上。

多普勒频移的测量方法

理论上公式很简单，但实际测量频率偏移并不容易。回波信号极其微弱，淹没在噪声中，如何精确测出频率？最常用的方法是混频 + FFT。

先说混频。雷达发射频率通常在GHz量级（比如24 GHz），而多普勒频移只有几kHz。如果直接对24 GHz的信号做FFT，需要极高的采样率（根据采样定理，至少48 GHz），这在硬件上很难实现，成本也极高。混频的作用是降频：把高频的回波信号和发射信号相乘，得到它们的差频。

数学上，混频利用三角函数的乘法公式。假设发射信号是 $s_{\text{tx}}(t) = \cos(2\pi f_0 t)$，回波信号是 $s_{\text{rx}}(t) = \cos(2\pi (f_0 + \Delta f) t)$，两者相乘得到：

s_{\text{tx}}(t) \times s_{\text{rx}}(t) = \cos(2\pi f_0 t) \times \cos(2\pi (f_0 + \Delta f) t)

根据三角函数乘法公式 $\cos A \times \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$，展开后得到：

= \frac{1}{2}[\cos(2\pi \Delta f \cdot t) + \cos(2\pi (2f_0 + \Delta f) t)]

乘积包含两个频率成分：差频 $\Delta f$（几kHz）和和频 $2f_0 + \Delta f$（约48 GHz）。用一个低通滤波器滤掉高频的和频项，就只剩下差频信号 $\cos(2\pi \Delta f \cdot t)$ 了。这个差频信号的频率就是多普勒频移 $\Delta f$，可以用普通的音频ADC采样（几十kHz采样率就够了）。

接下来是FFT。对差频信号做傅里叶变换（第2章介绍过），得到频谱。频谱的峰值位置就是多普勒频移 $\Delta f$。最后用公式 $v = c\Delta f / (2f_0)$ 算出速度。

上图展示了完整流程：发射信号（蓝色）和回波信号（红色）混频后，得到低频的差频信号（绿色）。对差频信号做FFT，频谱出现明显的峰值，峰值位置就是多普勒频移。这个技术叫外差接收，是无线电工程的基础技术，不只用于雷达，收音机、手机、WiFi都用这个原理。

速度分辨率与速度模糊

就像距离测量有分辨率限制（第4章），速度测量也有分辨率限制。

速度分辨率取决于频率分辨率。回顾第2章的傅里叶变换：要分辨两个频率，需要足够长的观测时间。频率分辨率 $\Delta f_{\text{res}}$ 与观测时间 $T$ 成反比：

\Delta f_{\text{res}} = \frac{1}{T}

这个公式怎么来的？和采样率没有关系吗？做FFT时，假设采样率是 $f_s$，采样点数是 $N$，那么总观测时间 $T = N/f_s$。FFT输出的频率点是均匀分布的，相邻两个频率点之间的间隔是：

\Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{f_s}{f_s \cdot T} = \frac{1}{T}

可以看到，频率分辨率只取决于观测时间 $T$，与采样率无关。采样率决定的是能测量的最高频率（$f_s/2$），而不是频率分辨率。观测时间越长，频率分辨率越高。这个结论直接来自傅里叶变换的性质：时间窗口越宽，频域分辨率越高。

对应的速度分辨率是多少？从速度公式 $v = c\Delta f / (2f_0)$ 出发，如果频率分辨率是 $\Delta f_{\text{res}}$，那么速度分辨率就是：

\Delta v = \frac{c \Delta f_{\text{res}}}{2 f_0} = \frac{c}{2 f_0 T}

举例：24 GHz雷达，观测时间 $T = 0.1$ s，速度分辨率是：

\Delta v = \frac{3\times10^8}{2 \times 24\times10^9 \times 0.1} = 0.625 \text{ m/s} \approx 2.25 \text{ km/h}

这意味着相差2 km/h以内的两个目标无法分辨。对于交通测速，2 km/h的分辨率完全够用。但对于精密制导或科学测量，可能需要更高的分辨率，这就要求更长的观测时间。

上图展示了观测时间对速度分辨率的影响：观测时间越长，FFT频谱的峰越窄，能分辨的速度差越小。

速度模糊是另一个实际问题。如果目标速度太快，多普勒频移可能超出测量范围，导致测量错误。

这个问题的根源是采样定理（第2章）。回顾采样定理：采样率 $f_s$ 必须大于信号最高频率的两倍，否则会发生频谱混叠。对于多普勒雷达，如果采样率是 $f_s$，能测量的最大频率偏移是 $f_s / 2$（奈奎斯特频率）。

对应的最大速度是：

v_{\max} = \frac{c \cdot (f_s/2)}{2 f_0} = \frac{c f_s}{4 f_0}

超过这个速度，频率会"折叠"回来，导致测量错误。举例：24 GHz雷达，采样率 $f_s = 20$ kHz，最大可测速度是：

v_{\max} = \frac{3\times10^8 \times 20000}{4 \times 24\times10^9} = 62.5 \text{ m/s} \approx 225 \text{ km/h}

如果目标速度超过225 km/h，测量结果会出错。比如真实速度是250 km/h，可能被测成25 km/h（250 - 225 = 25）。

上图展示了速度模糊的原理：当多普勒频移超过奈奎斯特频率时，频谱会发生混叠，高速目标被误判为低速目标。

解决方法有两种：一是提高采样率，扩大可测速度范围；二是使用多个脉冲重复频率（PRF）交替测量，通过"解模糊"算法恢复真实速度。后者属于高级技术，本书不展开。

测速有两种基本方式。连续波（CW）雷达持续发射单频信号，同时接收回波，混频后直接得到多普勒频移。结构简单，成本低，但无法测距离（因为信号一直在发射，无法区分回波的时间延迟）。脉冲多普勒雷达发射脉冲串，每个脉冲之间有间隔，既能测距离（通过时间延迟），又能测速度（通过脉冲间的相位变化）。结构复杂，但功能完整。交警的测速枪通常是连续波雷达——只需要测速度，不需要测距离。而军用雷达、气象雷达通常是脉冲多普勒雷达——既要知道目标在哪里，又要知道它有多快。

到这里，速度测量的基本理论已经完整了：目标运动引起多普勒频移，测出频移以后，就可以由

v = \frac{c \Delta f}{2 f_0}

换算出目标速度。

上面讲的连续波雷达结构简单，非常适合纯测速应用（比如测速枪）。但在实际雷达系统中，脉冲雷达更为常见——因为它既能测距离，又能测速度。对于脉冲雷达，速度信息不再表现为一段连续的差频信号，而是体现在相邻脉冲之间的相位变化中。下一节讨论的，正是这种脉冲体制下的测速原理：同样的多普勒频率，在脉冲串数据里是怎样出现的，又怎样沿慢时间方向把它提取出来。

5.3 脉冲间相位变化与速度测量

上一节主要站在连续波雷达的角度讨论测速：先把高频回波混到低频，再从频率偏移算速度。这个思路很直观，但在实际雷达系统中，脉冲雷达更为常见——因为它既能测距又能测速。

脉冲雷达里的速度信息不再表现成一段连续差频信号，而是体现在相邻脉冲之间的相位变化中。更具体地说：距离靠单个脉冲测出来，速度靠多个脉冲之间的规律变化测出来。

那么为什么相邻脉冲之间固定的相位差，能换算成多普勒频率，进而得到速度？

脉冲间相位差

单个脉冲最擅长回答“目标大概在哪个距离上”。回波比发射晚到多少，就对应目标离雷达有多远。只看一个脉冲，你最多知道某个距离单元里有没有目标，却很难判断它是静止、靠近还是远离。

原因并不复杂。速度不是靠某一个脉冲里突然多出什么新特征判断的，而是靠相邻脉冲之间有没有持续、稳定的变化来判断的。可以把它类比成拍照：只看一张照片，你能看出人站在哪里；连看很多张按固定时间间隔拍下的照片，你才能看出他是不是在持续移动。

脉冲雷达的数据结构可以用下图来理解：

每一行代表一个脉冲内的采样点，这是快时间方向，对应距离维度；每一列代表同一距离单元在不同脉冲的采样，这是慢时间方向，对应速度维度。快时间主要给距离，慢时间主要给速度。

学了后面一小节的MTD后，就知道为什么叫距离和速度维了。目前先记住这个叫法。至于快慢时间，大家看这个采样时间间隔就好理解，一个脉冲内的采样，自然比脉冲之间间隔时间久。

设雷达每隔 $T_r$ 秒发射一个脉冲。若目标径向速度为 $v$，那么从一个脉冲到下一个脉冲之间，目标沿视线方向移动了

\Delta R = vT_r

电磁波往返一次，这会带来额外传播路程

\Delta L = 2\Delta R = 2vT_r

而电磁波每走一个波长 $\lambda$，相位就多转 $2\pi$。因此，相邻两个脉冲之间的额外相位差为

\Delta \phi = 2\pi \frac{\Delta L}{\lambda} = 2\pi \frac{2vT_r}{\lambda}

再利用上一节已经得到的多普勒关系

f_d = \frac{2v}{\lambda}

就得到

\Delta \phi = 2\pi f_d T_r

这个式子说明：目标一旦在运动，回波相位就不会停在原地，而是会随着脉冲序号一拍一拍地稳定转动。静止目标对应 $\Delta\phi \approx 0$；目标速度越大，脉冲间相位转动得越快。

但要注意：如果目标速度太大，使得 $\Delta\phi$ 超过 $\pm\pi$，相位就会"折叠"回来，导致速度模糊。这就是为什么脉冲雷达有"最大不模糊速度"的限制——速度测量的有效范围取决于脉冲重复频率。

相位差法与慢时间 FFT

既然相邻两个脉冲之间的相位差已经和多普勒频率对应起来了，为什么不直接测相位差，而要做 FFT？

从原理上说，直接利用相位差当然是可行的。若慢时间上相邻脉冲之间的相位差是 $\Delta\phi$，又知道脉冲重复周期 $T_r$，就可以由

\Delta \phi = 2\pi f_d T_r

解出多普勒频率 $f_d$，再进一步换算成速度。

但这样做有一个明显问题：只利用了很少的数据。若只看相邻两个脉冲，速度估计几乎完全建立在”一次相位差测量”上。噪声稍大一点，或者目标回波比较弱，这个相位差就会抖动得很厉害，算出来的速度也会跟着不稳。

把多个脉冲放在一起看就不同了。不再只依赖某一对脉冲之间的相位差，而是去看整串脉冲的相位变化规律。这样做有两个好处：

积累增益：能把更多脉冲上的信息一起利用起来，结果更稳；
多目标分离：如果同一距离单元里不止一个目标，例如一个目标慢速靠近、另一个目标快速远离，它们对应的相位变化速率不同，就有机会把这两个目标分开。但如果两个目标的速度差太小（对应的频率间隔小于 $1/(NT_r)$），FFT就无法把它们分开——这就是速度分辨率的限制。

FFT的作用就是把多个脉冲的相位变化信息稳定地提取出来。下面看它是怎么做到的。

慢时间序列的复指数模型

前面已经推出：若相邻脉冲间的相位增量恒定为 $\Delta\phi$，那么第 $m$ 个脉冲上的相位就是

\phi_m = \phi_0 + (m-1)\Delta\phi

若把某个距离单元在第 $m$ 个脉冲上的回波写成复数形式，就是

z[m] = A e^{j\phi_m} = A e^{j[\phi_0 + (m-1)\Delta\phi]}

这是一个相位线性增长的复数序列。现在的问题是：怎样从这个序列中把相位增量Δφ（进而得到多普勒频率）稳定地提取出来？

答案是：用FFT测量相位变化速率。FFT会告诉我们"每个样本相位增加多少弧度"（归一化频率），然后我们根据采样间隔把它转换成实际频率（Hz）。

FFT 的模板匹配机制

FFT的核心思想：用一组不同相位变化速率的”标准模板”去和当前样本比对。每个模板也是一个相位线性增长的序列，但增长速率不同。哪个模板的相位增长速率和样本最接近，哪里就出现峰值。

离散傅里叶变换的公式是：

Z[k] = \sum_{m=0}^{N-1} z[m] e^{-j2\pi km/N}

这里的 $k$ 是模板编号，$e^{-j2\pi km/N}$ 就是第 $k$ 个标准模板。模板 $k$ 对应的相位变化速率是 $2\pi k/N$ 弧度/样本。

为什么相乘能测匹配度？关键在于：如果样本和模板的相位变化速率一致，相乘后样本的相位被模板”抵消”，所有项都指向同一方向，累加结果最大；如果不一致，相乘后各项指向不同方向，相互抵消，累加结果接近零。对每一个 $k$：

如果样本 z[m] 的相位增长速率和这个模板一致，相乘后各项会同向累加，|Z[k]| 很大
如果相位增长速率不一致，相乘后会相互抵消，|Z[k]| 很小

FFT就是在测量”样本的相位变化速率”和”各个候选模板的相位变化速率”的匹配程度。峰值位置k反映了样本的相位变化速率是 $2\pi k/N$ 弧度/样本。

下面用一个最简单的例子来演示这个过程。假设固定某一距离单元以后，连续观察 4 个脉冲，得到的样本恰好是

z[0]=1, \quad z[1]=j, \quad z[2]=-1, \quad z[3]=-j

这四个样本的幅度都相同，但相位依次是

0^\circ,\quad 90^\circ,\quad 180^\circ,\quad 270^\circ

也就是说，每往后一个脉冲，相位就多转 $90^\circ$。这里 $N=4$。

先看 $k=1$ 的情况。代入公式可得

Z[1] = \sum_{m=0}^{3} z[m] e^{-j2\pi (1)m/4}

把各项逐个写开：

Z[1]=z[0]e^{0}+z[1]e^{-j\pi/2}+z[2]e^{-j\pi}+z[3]e^{-j3\pi/2}

= 1\cdot 1 + j\cdot(-j) + (-1)\cdot(-1) + (-j)\cdot j

$$ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 $$

这个结果为什么会这么大？因为当 $k=1$ 时，模板 $e^{-j2\pi m/4}$ 的相位变化速率恰好和样本一致。相乘后，样本的相位被”抵消”掉，四项都变成了同一个方向，于是能够同向累加。

再看 $k=0$ 的情况。代入公式有

Z[0] = \sum_{m=0}^{3} z[m] e^{-j2\pi (0)m/4}

因为 $e^{0}=1$，这相当于用”零相位变化速率模板”（相位不变）去匹配。把四个样本直接相加：

Z[0]=1\cdot 1 + j\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + (-j)\cdot 1

$$ = 1 + j - 1 - j = 0 $$

因为样本的相位在转动，而模板相位不变，两者不匹配，所以相互抵消。

上图展示了FFT的模板匹配过程。左图是某一距离单元上的慢时间样本，相位随脉冲编号稳定推进；中图是几个候选模板；右图是各个候选模板对应的匹配结果 $|Z[k]|$，最匹配的位置形成最高峰。

这个例子说明了FFT的工作原理：

样本序列 z[m] 的相位以速率Δφ（弧度/样本）线性增长
FFT用不同的模板去匹配这个相位变化速率
模板 $e^{-j2\pi km/N}$ 对应的相位变化速率是 $2\pi k/N$ 弧度/样本
当k=1时，模板的相位变化速率是 $2\pi/4 = 90°$/样本，恰好匹配样本
FFT求的就是相位变化速率（归一化频率），而不是直接求实际频率

实际中，目标的多普勒频率往往不会恰好落在某个整数k上。这时能量会”泄漏”到相邻的频点，峰值会变宽、变矮——这就是频谱泄漏现象。

接下来的问题是：如何把这个”相位变化速率”转换成实际的多普勒频率？

从相位变化速率到多普勒频率

上面的计算告诉我们”在 $k=1$ 处有峰”，这意味着样本的相位变化速率是 $2\pi k/N = 2\pi/4 = 90°$/样本。但这个”归一化频率”如何对应到实际的多普勒频率（Hz）？

关键在于：每个”样本”对应的时间间隔是 $T_r$（脉冲重复周期）。

如果相位变化速率是 $2\pi k/N$ 弧度/样本，那么换算成单位时间的相位变化速率就是：

\omega = \frac{2\pi k/N}{T_r} = \frac{2\pi k}{N T_r} \quad \text{(弧度/秒)}

对应的频率（Hz）为：

f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{k}{N T_r} = \frac{k \cdot f_s}{N}

其中 $f_s = 1/T_r$ 是慢时间采样率。

这个公式建立了”FFT峰值位置k”和”实际频率f”的对应关系：

k 反映相位变化速率（归一化频率）
乘以 $f_s/N$ 转换成实际频率（Hz）

回到刚才 $N=4$ 的例子。若脉冲重复周期 $T_r = 1\,\text{ms}$，则慢时间采样率 $f_s = 1000\,\text{Hz}$。频谱上 $k=1$ 对应的频率为

f = \frac{1 \times 1000}{4} = 250\,\text{Hz}

这个 $f$ 就是多普勒频率 $f_d$。

验证一下：如果多普勒频率是250 Hz，那么相邻脉冲间的相位差应该是

\Delta\phi = 2\pi f_d T_r = 2\pi \times 250 \times 0.001 = 0.5\pi = 90^\circ

这正好和我们例子中的样本相位变化（每脉冲转90°）一致！FFT成功地测量出了相位变化速率，然后我们把它转换成了实际频率。

最后，由多普勒频率换算成速度：

v = \frac{\lambda f_d}{2}

例如，若雷达工作波长 $\lambda = 0.03\,\text{m}$（对应 10 GHz），则

v = \frac{0.03 \times 250}{2} = 3.75\,\text{m/s}

这样就完成了从”脉冲间相位差”到”目标速度”的完整换算。

至此，整个测速链条就清楚了：目标运动产生固定相位差，FFT通过模板匹配测出相位变化速率，再转换成多普勒频率，最后换算成速度。前面都是在单个距离单元里讨论速度测量。实际雷达数据是二维的——既有距离维度，又有速度维度。MTD就是把这套思想应用到整个二维数据阵列上的方法。

5.4 MTD的基本思想

上一节已经说明：相位差对应多普勒频率，FFT 能把这个频率提取出来。

这一节把这件事放回真实的二维数据结构里，看看 MTD 怎样在整个处理流程中应用这个思想，最终得到距离-速度二维图。

慢时间处理与速度提取

把多个脉冲的回波按"脉冲序号 × 脉冲内采样点"排开，就得到二维数据矩阵。若记为 $X(m,n)$，则：

$m$ 表示脉冲序号，常称为慢时间；
$n$ 表示脉冲内采样点，常称为快时间。

快时间方向主要负责距离，慢时间方向主要负责速度。也就是说，先沿横向区分不同距离，再沿纵向观察同一距离单元在多个脉冲上的变化。

上图给出了距离压缩后的二维数据矩阵示意。这里的"距离压缩"指的是在快时间上做第四章的脉冲压缩（匹配滤波），压缩后的结果反映出目标的距离，因此称为距离压缩。横向是不同距离单元，纵向是不同脉冲。对某一个固定距离单元来说，就是从整张图里抽出一列来看；这一列中的复数样本，正是后面要做慢时间分析的对象。

需要注意的是，虽然每个脉冲都经过了脉冲压缩，但这不影响慢时间上的相位关系。匹配滤波会把回波的载波相位"保留"在脉压后的复数值中，因此固定某一距离单元后，这一列样本在相邻脉冲间仍然保持 5.3 节推导的固定相位差 $\Delta\phi = 2\pi f_d T_r$，慢时间 FFT 依然能够提取出多普勒频率。（详细推导参见本节末尾的附录）

若距离压缩后的矩阵记为 $X_c(m,n)$，则某一距离单元 $n_0$ 上的慢时间序列可以写成

z[m] = X_c(m,n_0), \qquad m = 1,2,\ldots,N

这表示：现在不再看整张二维矩阵，而是只盯住同一个距离单元，观察它在第 1 个脉冲、第 2 个脉冲、第 3 个脉冲上的数值怎样变化。

如果目标静止，这一列里的数值在相邻脉冲之间通常变化不大；如果目标在运动，这一列里的相位就会按固定节奏一点一点转动。于是，原来的测速问题就变成了一个更具体的问题：这串样本到底在按多快的节奏变化？

上图展示了这一过程。左图中固定某一列以后，就得到中图所示的慢时间序列。这个序列的实部和虚部随脉冲编号呈现规律变化，说明目标在该距离单元上存在稳定的相位转动。右图对这串慢时间序列做 FFT 后，得到明显的频谱峰值，这个峰值所对应的多普勒频率，就是速度估计的依据。

距离-速度图的表示

到这里，距离处理和速度处理的分工就清楚了。沿快时间方向做距离压缩以后，系统已经知道目标大致落在哪一个距离单元上，也就是先回答了"目标在什么距离位置"。随后，对这个距离单元里的慢时间样本做傅里叶变换，得到多普勒频率，再由多普勒频率换成速度，这一步回答的是"目标以多大速度运动"。

换句话说，在脉冲雷达中：

距离向处理负责确定目标在何处；
慢时间方向的 FFT 负责确定目标速度。

如果对每一个距离单元都重复这一过程，就不再只是得到"某一列的频谱"，而是会得到一张二维结果图：横向对应距离，纵向对应速度。图上的每一个亮点，都可以同时读出两个信息：

它落在哪一个距离单元上；
它落在哪一个速度单元上。

上图给出了这一结果的示意。横向位置决定目标距离，纵向位置决定目标速度。图中不再只是某一列上的频谱，而是把每一个距离单元都沿慢时间做了 FFT 之后的整体结果放在一起看。这样一来，距离压缩先把目标在横向上分开，慢时间 FFT 再把不同速度在纵向上分开，原来"目标在什么地方"和"目标运动得多快"这两个问题，就能在同一张二维图上同时表示出来。

读这类二维图时，可以按一个固定顺序来看。先看横向，判断亮点分别落在哪些距离单元上；再看纵向，判断这些亮点对应哪些速度单元。若某一片区域比周围更亮，通常表示该距离—速度位置上存在较强目标响应。

就这张图而言，可以看到 3 个比较明显的亮区，因此可以把它理解为 3 个目标响应。左下方的亮区表示一个目标位于较近距离、较高速度单元；左上方的亮区表示另一个目标位于稍远一些的距离、但速度单元不同；右侧的亮区则表示第三个目标位于更远距离，并且速度单元也与前两个目标不同。这样读者就能直接看到：不同目标不仅会在距离轴上分开，也会在速度轴上分开。

同时还要注意，图中的每个目标并不一定只表现为一个孤立像素点，主峰周围常常还会出现邻近抬升。这是因为实际处理结果往往会带有主瓣展宽、能量泄漏或相邻单元响应，因此二维图看上去通常会比单一频谱更接近真实雷达输出。

MTD 把第 4 章的距离处理和本章前两节的多普勒关系结合起来：先对每个脉冲做距离压缩，把目标分到不同距离单元；再固定某一距离单元，对它在多个脉冲上的复数样本做 FFT，由频谱峰值估计多普勒频率和速度。前面讲的 $f_d = 2v/\lambda$ 说明了测速的物理基础，5.3 节的 FFT 说明了频率提取方法，这一节说明了在脉冲雷达里的具体应用。

本书只保留 MTD 的基本思想，不展开更复杂的滤波器组、杂波抑制和工程实现细节。到第七章进入 MATLAB 实现时，读者会看到距离—速度二维处理就是这一节慢时间处理思想的直接应用。

附录：脉冲压缩后慢时间相位关系的证明

本节正文中提到，虽然每个脉冲都经过了脉冲压缩，但慢时间上的相位差仍然保持 $\Delta\phi = 2\pi f_d T_r$。这里给出详细推导。

假设发射信号为 $s(t)$，载频为 $\omega_c$。第 0 个脉冲发射后，目标距离 $R_0$，回波延迟 $\tau_0 = 2R_0/c$。回波信号可以写成

r_0(t) = A \cdot s(t - \tau_0) e^{j\omega_c(t-\tau_0)}

匹配滤波的输出为

y_0(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} r_0(\xi) s^*(\xi - t) d\xi

在峰值位置 $t = \tau_0$ 处，代入回波表达式：

y_0(\tau_0) = \int_{-\infty}^{+\infty} A \cdot s(\xi - \tau_0) e^{j\omega_c(\xi-\tau_0)} \cdot s^*(\xi - \tau_0) d\xi

= A e^{-j\omega_c\tau_0} \int_{-\infty}^{+\infty} s(\xi - \tau_0) s^*(\xi - \tau_0) d\xi

= A e^{-j\omega_c\tau_0} \int_{-\infty}^{+\infty} |s(\xi - \tau_0)|^2 d\xi

积分项是实数（信号能量），因此脉压后得到的复数值相位为

\phi_0 = -\omega_c\tau_0 = -\frac{4\pi R_0}{\lambda}

到第 1 个脉冲时，目标距离变为 $R_1 = R_0 + vT_r$，回波延迟 $\tau_1 = 2R_1/c$。同样的推导可得脉压后的相位为

\phi_1 = -\omega_c\tau_1 = -\frac{4\pi R_1}{\lambda} = -\frac{4\pi(R_0 + vT_r)}{\lambda}

两个脉冲脉压后的相位差为

\Delta\phi = \phi_1 - \phi_0 = -\frac{4\pi(R_0 + vT_r)}{\lambda} - \left(-\frac{4\pi R_0}{\lambda}\right) = -\frac{4\pi vT_r}{\lambda} = 2\pi \cdot \frac{2v}{\lambda} \cdot T_r = 2\pi f_d T_r

这证明了：匹配滤波把回波的载波相位保留在了脉压后的复数值中，相邻脉冲间的相位差仍然由目标运动决定，与 5.3 节的推导完全一致。

5.5 实际应用

前面几节讲的多普勒测速原理，在日常生活中随处可见。这一节挑三个典型场景来看：交警的测速枪、气象雷达的风速测量、以及汽车上的防撞雷达。它们使用的雷达体制各不相同，但背后的测速思路是一样的。

应用1：交警测速枪

路边的测速枪是最常见的多普勒雷达应用。它采用连续波体制——雷达持续发射单频信号（通常 24 GHz 或 35 GHz），回波与发射信号混频后得到差频信号，再做 FFT 找到频率峰值，由 $v = c\Delta f/(2f_0)$ 算出速度。整个过程在几十毫秒内完成。

为什么用连续波而不是脉冲？因为测速枪只需要测速度，不需要测距离。连续波结构简单、成本低、功耗小，适合做成手持设备。测量精度通常在 ±1 km/h 以内，足够用于交通执法。

如果测速枪不是正对着车辆，而是成角度 $\theta$，测得的速度是真实速度的 $\cos\theta$ 倍。例如，卡口与车道成30°角，测得速度会比真实速度低约13%。这就是为什么警察通常尽量正对车道测速。

上图展示了正对和偏角两种情况：正对时测得的速度准确，偏角时得到的是径向速度分量，因此偏低。

应用2：气象雷达测风速

天气预报里的风速数据，很多来自多普勒天气雷达。它的工作原理和测速枪类似，但目标是空气中的雨滴、雪花等微小颗粒。

和测速枪不同，气象雷达采用脉冲体制——因为它不仅要知道风有多快，还要知道风在哪里。雷达发射脉冲后，通过回波的时间延迟确定雨滴的距离，再通过相邻脉冲之间的相位差（正是 5.3 节讲的原理）计算多普勒频移，从而得到风速。雷达旋转扫描一圈，就能画出整个区域的风速分布图。

实际应用包括：

龙卷风预警：龙卷风的小范围内风向急剧变化可以通过多普勒雷达识别，其典型信号是相邻区域方向相反的频移。
风切变检测：机场附近的多普勒雷达能实时监测风速突变，预警起降阶段的危险。
降水估计：雨滴的运动速度和大小有关，频移信息可以辅助估算降水强度。

气象雷达通常工作在 S 波段（2-4 GHz）或 C 波段（4-8 GHz），扫频时不能用过高频率以免被雨水衰减，也不能用过低频以免分辨率不足。

图中展示了气象雷达的扫描方式，尤其是龙卷风的识别：局部相对方向性改变显而易见。

应用3：汽车防撞雷达

现代汽车上的自适应巡航（ACC）和自动紧急制动（AEB）功能都依赖车载毫米波雷达，这类雷达既要测距离，也要测速度。

汽车雷达采用的是第三种体制：调频连续波（FMCW）。它发射频率随时间线性变化的信号（类似第 4 章的 LFM），回波与当前发射信号混频后，差频信号里同时包含了时间延迟（对应距离）和多普勒频移（对应速度）的信息。通过上下扫频两次测量，就能把距离和速度分离出来。

汽车雷达通常工作在 77 GHz 频段。选这个频率主要是因为波长只有约 4 mm，天线可以做得很小，方便安装在车身上；同时高频也意味着更高的距离和角度分辨率。

典型性能指标：

探测距离：200-250 米
距离精度：约 10 cm
速度精度：约 0.1 m/s
角度分辨率：约 1-2°（通过多天线阵列实现）

汽车雷达常面对多目标场景，因此背后需要目标检测、聚类、跟踪等算法。

图中示意 FMCW 雷达的距离-速度谱，可同时看到多个目标的距离和速度信息。

实际系统面对的问题

上面三个应用看起来原理都很清楚，但真正做起来会碰到不少麻烦：

杂波。地面、建筑物等静止目标也会产生回波，只是频移为零。如果不把这些零频附近的信号滤掉，真正的运动目标就会被淹没。常用的办法是高通滤波，把零频附近的成分去掉。

多目标叠加。同一距离单元里可能有不止一个目标，它们的回波叠在一起。5.4 节讲的 FFT 能在频率上把它们分开，但如果两个目标速度很接近，就需要更长的观测时间来提高分辨率。

速度模糊。5.2 节已经提到，如果多普勒频移超过采样率的一半，就会发生混叠。实际系统常用多个脉冲重复频率交替测量来解决这个问题。

5.6 小练习

这些练习围绕本章的主线展开：先把多普勒频移和径向速度的对应关系算清楚，再逐步加入角度、分辨率、采样率和工程设计约束。建议先自己做，再对照解析检查思路。

练习 1：基础计算

问题： 一个工作在 10 GHz 的雷达，测得回波的多普勒频移为 3000 Hz。目标的径向速度是多少？

解析： 根据公式

v = \frac{c\Delta f}{2f_0}

代入数据可得

v = \frac{3\times10^8 \times 3000}{2 \times 10\times10^9} = 45\,\text{m/s}

换算成 km/h，大约为

45 \times 3.6 = 162\,\text{km/h}

因此目标的径向速度为 45 m/s，约 162 km/h。

练习 2：测速枪的角度误差

问题： 交警使用 24 GHz 测速枪测量车速。测速枪与车道成 30°角，测得多普勒频移为 4157 Hz。车辆的真实速度是多少？

解析： 先用多普勒公式算出测得的径向速度：

v_r = \frac{3\times10^8 \times 4157}{2 \times 24\times10^9} \approx 26\,\text{m/s}

由于测速枪并未正对车辆运动方向，因此有

v_r = v\cos\theta

所以真实速度为

v = \frac{v_r}{\cos 30^\circ} \approx \frac{26}{0.866} \approx 30\,\text{m/s}

换算后约为 108 km/h。这个练习说明：测量角度越偏，测速误差越大。

练习 3：速度分辨率

问题： 一个 35 GHz 的测速雷达，观测时间为 0.2 秒。它能分辨的最小速度差是多少？

解析： 速度分辨率近似为

\Delta v = \frac{c}{2f_0T}

代入数据得

\Delta v = \frac{3\times10^8}{2 \times 35\times10^9 \times 0.2} \approx 0.214\,\text{m/s}

换算成 km/h，约为 0.77 km/h。也就是说，这部雷达理论上能够区分约 0.21 m/s 的速度差。

练习 4：最大可测速度

问题： 一个汽车防撞雷达工作在 77 GHz，采样率为 100 kHz。它能测量的最大速度是多少？如果目标速度超过这个值会发生什么？

解析： 最大可测速度可按

v_{\max} = \frac{cf_s}{4f_0}

计算，因此

v_{\max} = \frac{3\times10^8 \times 100000}{4 \times 77\times10^9} \approx 97.4\,\text{m/s}

约合 351 km/h。若目标速度超过这个上限，频谱会发生混叠，测速结果出现速度模糊，也就是测得的值不再是真实速度，而是折叠后的假象。

练习 5：气象雷达的风速测量

问题： 一个 S 波段气象雷达（频率 3 GHz）测得某区域的多普勒频移为 200 Hz。这个区域的风速是多少？如果频移为 -150 Hz 呢？

解析： 当频移为 200 Hz 时，速度为

v = \frac{3\times10^8 \times 200}{2 \times 3\times10^9} = 10\,\text{m/s}

由于频移为正，表示目标朝向雷达运动。

当频移为 -150 Hz 时，速度为

v = \frac{3\times10^8 \times (-150)}{2 \times 3\times10^9} = -7.5\,\text{m/s}

负号表示目标远离雷达。因此这两种情况分别对应 10 m/s 的来向风和 7.5 m/s 的去向风。

练习 6：综合应用

问题： 设计一个测速枪，要求：

测量范围：0 到 200 km/h
速度精度：约 ±1 km/h
观测时间：不超过 0.1 秒

请选择合适的雷达频率和采样率。

如果你想把不同参数快速代进去比较，可直接运行 ch05_doppler_calculator.m。

解析： 先把 200 km/h 换成约 55.6 m/s。为了覆盖这个速度范围，需要满足

f_s \ge \frac{4f_0v_{\max}}{c}

如果选 24 GHz，则采样率至少约为 17.8 kHz，因此可取 20 kHz 作为一个有余量的值。

再看速度分辨率。若观测时间限制在 0.1 s，则

\Delta v = \frac{c}{2f_0T}

在 24 GHz 下约为 0.625 m/s，也就是约 2.25 km/h。这个精度比 ±1 km/h 稍差，因此如果要更稳地达到精度要求，可以提高雷达频率到 35 GHz，或适当延长观测时间。

因此，这道题的合理答案是：24 GHz + 20 kHz 可以满足速度范围，但若要更高精度，35 GHz 会更合适。

练习 7：编程实践（可选）

问题： 编写一个 MATLAB 或 Python 程序，模拟多普勒测速的过程：

生成一个频率为 10 GHz 的发射信号
模拟一个速度为 30 m/s 的目标，生成带有多普勒频移的回波信号
将发射信号和回波信号混频
对混频后的信号做 FFT，找到多普勒频移
从频移计算出速度，验证是否为 30 m/s

如果你不想从空白开始写，可直接运行 ch05_doppler_velocity_measurement.m，先把完整流程跑通，再按自己的理解重写一遍。

解析： 这道题的关键不是把代码写长，而是把处理链写对。先根据

\Delta f = \frac{2vf_0}{c}

算出理论多普勒频移，再用这个频移构造回波。回波与发射信号混频后，会留下差频分量。对差频信号做 FFT，频谱峰值对应的就是测得的多普勒频移。最后再按

v = \frac{c\Delta f}{2f_0}

把频移换回速度。若程序正确，计算结果应接近 30 m/s。

思考题

问题： 请继续思考下面几个问题：

为什么高速公路上的测速雷达通常架设在路边，而不是路中间？
气象雷达如何区分雨滴和鸟群？
如果一辆车同时向前开、向上坡爬，雷达测得的速度是什么？
为什么汽车防撞雷达更常用 77 GHz，而不是 24 GHz？
连续波雷达为什么不能直接测距离？若既要测速又要测距，应采用什么办法？

第5章 速度测量